סיכום מורחב — ניהול התפעול למנהל עסקים

מפת הקורס — 20 פרקים, 4 יחידות

המספור לפי סדר המחברת. כל קישור קופץ לפרק המלא.

יחידה 1 · אופטימיזציה

1. מבוא לחקר ביצועים וניסוח בעיות תכנות ליניארי (8 עמ' במחברת)

הגדרות יסוד

חקר ביצועים

תחום העוסק בקבלת החלטות אופטימליות במערכות דטרמיניסטיות וסטוכסטיות (הסתברותיות) שמקורן בבעיות ממשיות, באמצעות ייצוגן במודלים מתמטיים.

תכנות מתמטי

בניית מודל מתמטי המייצג את הבעיה: משתני החלטה, פונקציית מטרה המבוטאת באמצעותם, ואילוצים (שוויונים / אי־שוויונים). אלגוריתם מתאים מוצא פתרון אופטימלי.

תכנות ליניארי (LP)

מודל אופטימיזציה שבו גם פונקציית המטרה וגם כל האילוצים ליניאריים בלבד, ומחפשים מקסימום או מינימום.

שלושת מרכיבי הניסוח — תמיד באותו סדר

משתני החלטה — מה אנחנו מבקשים למצוא? (הגדרה מילולית מדויקת: "x₁ = כמות בק"ג של...")
פונקציית מטרה — מה ממקסמים / ממזערים? (רווח, עלות, קלוריות, אפקטיביות...)
אילוצים — מה מגביל אותנו? (תקציב, נפח, זמן, אחוזי תערובת, אילוצי סימן x ≥ 0)

המבנה הכללי (n משתנים, m אילוצים)

צורה מפורשת Max / Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + … + c_nx_n
s.t. a_i,1x₁ + a_i,2x₂ + … + a_i,nx_n (≤ / = / ≥) b_i i = 1…m

צורה מטריציונית Max / Min Z = c·x s.t. A·x (≤/=/≥) b

c — וקטור מקדמי פונקציית המטרה · b — וקטור המשאבים · x — וקטור משתני ההחלטה · A — מטריצת מקדמי האילוצים (aᵢⱼ = כמות המשאב הנצרכת).

דפוסי ניסוח שחוזרים בתרגילי המחברת

בעיות השקעה / תמהיל (אבי והחיסכון): משתנה לכל אפיק, אילוץ תקציב כולל + תקרה לאפיק.
בעיות תערובת באחוזים (הפיצוחים): אילוץ מסוג "לפחות 30% גרעינים שחורים" מנוסח כ־(כמות המרכיב מכל המקורות) ≥ 0.3 × (המשקל הכולל). שימו לב לתערובות מוכנות שמכניסות מרכיבים בכמה אחוזים בו־זמנית.
בעיות בחירה בינארית (הפנינג הסטודנטים): xⱼ∈{0,1}. אילוץ "טראנס או ריקודי עם אבל לא שניהם": x₃ + x₄ ≤ 1.
עלות קבועה מותנית (שירות התעסוקה): משתנה בינארי yⱼ לכל חברה + אילוץ קישור Σxᵢⱼ ≤ M·yⱼ, ובפונקציית המטרה מוסיפים 100,000·yⱼ.
אפקטיביות מדורגת (שולה בהודו, סעיף ב'): מפצלים משתנה לשני משתנים — ימים 1–5 באפקטיביות 4 וימים מעבר לכך באפקטיביות 9, עם אילוץ קדימות בין השניים.

בכל שאלת ניסוח, נקודות ניתנות על הגדרת משתנים מילולית ומדויקת (כולל יחידות!) לפני הכתיבה המתמטית. אל תדלגו על אילוצי אי־השליליות.

יחידה 1 · אופטימיזציה

2. פתרון גרפי לבעיות תכנון ליניארי (6 עמ')

פתרון אפשרי

פתרון המקיים את כל האילוצים.

פתרון אופטימלי

הפתרון הטוב ביותר מבין כל הפתרונות האפשריים.

משפט מרכזי

הפתרון האופטימלי חייב להופיע באחת מנקודות הקצה (קודקודים) של תחום הפתרונות האפשריים.

האלגוריתם (מתאים לבעיות עם שני משתנים)

ניסוח הבעיה כבעיית תכנון ליניארי.
ציור מערכת צירים: x₁ על ציר X, ‏x₂ על ציר Y.
ציור כל אילוץ וקביעת התחום המתאים לו (כולל אילוצי אי־השליליות — הם אילוצים לכל דבר!).
מציאת נקודות הקצה של תחום הפתרונות.
חישוב ערך Z בכל נקודת קצה.
בחירת הנקודה האופטימלית.

שיטת ישר פונקציית המטרה

משווים את פונקציית המטרה לערך כלשהו ומציירים ישר מקביל לה. בבעיות מקסימום "מזיזים" את הישר לכיוון x₁,x₂→∞; בבעיות מינימום — לכיוון −∞. הנקודה האחרונה בתחום שהישר נוגע בה היא האופטימום.

מקרים מיוחדים

פתרון מרובה — האופטימום מתקבל בשתי נקודות קצה (או יותר): כל נקודה על הקטע המחבר היא אופטימלית → אינסוף פתרונות. קורה כאשר פונקציית המטרה מקבילה לאילוץ פעיל.
פתרון לא חסום — תחום פתוח לכיוון ההזזה: במקסימום Z→∞, במינימום Z→−∞. שימו לב: תחום פתוח לכיוון ∞ בבעיית מינימום אינו מפריע — ההזזה היא בכיוון ההפוך.

לשכוח לצייר את אילוצי אי־השליליות ולקבל תחום פתרונות שגוי ברביע לא נכון.

יחידה 1 · אופטימיזציה

3. שימוש בתוכנת LINDO (4 עמ')

כללי כתיבה

בשורת פונקציית המטרה אין כותבים "=Z" — רק MAX / MIN והביטוי.
‏>= פירושו גדול־שווה, ‏<= פירושו קטן־שווה.
אין צורך לכתוב אילוצי סימן (ברירת המחדל: משתנים רציפים ואי־שליליים).
בסיום האילוצים כותבים END.
אחרי END: ‏INT X1 — משתנה בינארי · GIN X1 — משתנה שלם · FREE X1 — לא מאולץ בסימן. שורה נפרדת לכל משתנה.

קריאת דו"ח הפלט

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

ערך Z בפתרון האופטימלי.

VALUE

ערכי המשתנים בפתרון האופטימלי.

REDUCED COST (מע"מ — מקדם עלות מופחתת)

אם 0 — משתנה בסיסי. אם חיובי — בכמה צריך "להשתפר" המקדם של המשתנה בפונקציית המטרה כדי שיכנס לבסיס.

ROW

מספר שורת האילוץ — האילוץ הראשון הוא שורה 2!

SLACK OR SURPLUS

ערכי משתני החוסר/עודף: ההפרש בין אגף ימין לשמאל בכל אילוץ בפתרון האופטימלי. ‏0 = אילוץ פעיל (קושר).

DUAL PRICES (מחיר צל)

השינוי ב־Z אם מגדילים את אגף ימין של האילוץ ביחידה אחת. חיובי → Z גדל; שלילי → Z קטן. זהו גם הפתרון הדואלי (Y של כל אילוץ).

Ranges in which the basis is unchanged

OBJ COEFFICIENT RANGES — לכל משתנה: ‏CURRENT COEF, ‏ALLOWABLE INCREASE / DECREASE. כל עוד המקדם בטווח — בסיס הפתרון לא משתנה.
RIGHTHAND SIDE RANGES — לכל אילוץ: ‏CURRENT RHS וטווח ההגדלה/הקטנה שבו הבסיס נשמר (ומחיר הצל תקף).

יחידה 1 · אופטימיזציה

4. ניתוח רגישות (4 עמ')

ניתוח רגישות שואל: עד כמה הפתרון רגיש לשינויים במקדמי פונקציית המטרה ובמשאבים. מבחינים בין בסיס הפתרון (אילו משתנים קיבלו ערך) לבין ערך הפתרון (הערך המספרי של Z). כמעט כל שינוי משנה את Z; השאלות המעניינות הן על שינוי הבסיס.

4 סוגי הניתוח

שינוי מקדם בפונקציית המטרה → בודקים מול OBJ COEFFICIENT RANGES.
שינוי משאב (אגף ימין) → בודקים מול RHS RANGES; בתוך הטווח, שווי השינוי = מחיר הצל × גודל השינוי.
הוספת אילוץ → אם הפתרון הנוכחי מקיים אותו, דבר לא משתנה; אחרת Z רק יכול להיפגע.
הוספת משתנה → בודקים האם היה משתלם להכניסו (באמצעות מחירי הצל של המשאבים שהוא צורך).

דוגמת התבלינים של אלי (Max Z = 3x₁+4x₂+5x₃; נפח 0.5x₁+0.9x₂+2x₃ ≤ 72; מזומן 10x₁+6x₂+20x₃ ≤ 900). פלט: ‏Z=369, ‏x₁=63, ‏x₂=45, ‏x₃=0, ‏Reduced Cost של x₃ = 4.667, מחירי צל: נפח 3.667, מזומן 0.117.

א. פירוש: להביא 63 ק"ג פפריקה ו־45 ק"ג כורכום, ‏0 זעפרן. רווח 369 ₪. שני האילוצים פעילים (Slack=0).
ב. מחיר מכירה מקסימלי לזעפרן: המקדם הנוכחי 5 (רווח = 25−20). ‏Allowable Increase = 4.667 → מקדם עד 9.667 → מחיר מכירה עד 24.667+5 = 29.667 ₪ ללא שינוי בבסיס.
ג. ליטר נוסף בתרמיל: שווה עד מחיר הצל של אילוץ הנפח — 3.667 ₪.
ד. תרמיל של 30 ליטר: ‏Allowable Increase לנפח = 63 ≥ 30, כלומר מחיר הצל תקף לכל הטווח → עד 30 × 3.667 = 110 ₪.
ה. מגבלת משקל 80 ק"ג: הפתרון הנוכחי שוקל 63+45 = 108 ק"ג > 80 → אילוץ חדש שהפתרון מפר → הבסיס ישתנה ו־Z יקטן (אילוץ נוסף לעולם לא משפר).
ו. הלוואה מעופר ב־10%: מחיר הצל של המזומן 0.117 — כל שקל נוסף מניב 11.7 אגורות ועולה 10 אגורות → כדאי. עופר יכול לדרוש עד 0.117 ₪ לשקל (ובכפוף ל־Allowable Increase של 540 ₪).

"כמה נשלם לכל היותר עבור עוד יחידת משאב?" = מחיר הצל, אבל רק בתוך טווח ה־RHS. אם ההגדלה המבוקשת חורגת מהטווח — אפשר להתחייב רק על הטווח המותר.

יחידה 1 · אופטימיזציה

5. גרפים ורשתות — מסלול קצר ועץ פורש מינימלי (6 עמ')

בעיית המסלול הקצר — אלגוריתם דיקסטרא

נתונים קודקוד מקור ויעד; מחפשים מסלול שסכום משקלי הקשתות שלו מינימלי. דיקסטרא מוצא את המסלול הקצר מהמקור לכל הקודקודים:

לקודקוד המקור ערך זמני 0 + סימון בכוכבית (קבוע).
מהקודקוד האחרון שסומן: לכל שכן שטרם סומן, מחשבים מרחק מהמקור דרכו. אם קטן מהערך הזמני הקיים — מעדכנים ורושמים מאיפה הגענו.
מבין כל הקודקודים שלא סומנו — בוחרים את בעל הערך הזמני הקטן ביותר ומסמנים בכוכבית.
חוזרים לשלב 2 כל עוד נותרו קודקודים לא מסומנים.

שחזור המסלול: מהיעד אחורה, לפי סימוני "הגענו דרך", עד המקור. הערך הסופי ליד קודקוד = אורך המסלול הקצר אליו.

ניסוח מסלול קצר כ־LP

משתנה בינארי x_i,j לכל קשת (האם נשתמש בה). שלושה סוגי אילוצי רציפות:

שימור זרימה Min Z = Σ w_i,j·x_i,j
מקור s: (יוצאות) − (נכנסות) = 1 · יעד t: (נכנסות) − (יוצאות) = 1 · כל קודקוד אחר k: (נכנסות) = (יוצאות)

עץ פורש מינימלי (MST)

עץ

גרף ללא מעגלים.

עץ פורש

גרף ללא מעגלים שדרכו מגיעים מכל קודקוד לכל קודקוד.

עץ פורש מינימלי

העץ הפורש שסכום משקולות קשתותיו הקטן ביותר. שימושי לחיבור נקודות במינימום עלות (כבישים, כבלים, תקשורת).

האלגוריתם החמדני (קרוסקל): (1) מתחילים בקשת הזולה ביותר שטרם סומנה; (2) אם היא לא סוגרת מעגל — מסמנים, אחרת עוברים לבאה בתור; (3) חוזרים עד שכל הקודקודים מקושרים (בעץ עם n קודקודים — n−1 קשתות).

לבלבל בין מסלול קצר (מסלול בין שתי נקודות) לעץ פורש (חיבור כל הנקודות). בעץ פורש אין משמעות ל"מקור" ו"יעד".

יחידה 1 · אופטימיזציה

6. בעיות השמה — האלגוריתם ההונגרי (9 עמ')

מקרה מיוחד של LP: לכל משאב פעילות אחת ולכל פעילות משאב אחד, במינימום עלות.

הכנות לפני האלגוריתם

איזון: מספר שורות ≠ מספר עמודות → מוסיפים שורה/עמודה פיקטיבית שכל ערכיה 0.
מקסימום → מינימום: כופלים את כל הערכים ב־(−1).
שיבוץ אסור: מסמנים M (עלות אינסופית) בתא הרלוונטי.
אפס ייחודי: המטרה — סט אפסים בגודל n כך שבכל שורה ובכל עמודה מסומן אפס יחיד.

האלגוריתם ההונגרי

מחסרים מכל שורה את הערך המינימלי שלה.
מחסרים מכל עמודה את הערך המינימלי שלה.
מותחים מספר מינימלי של קווים (שורות/עמודות) המכסים את כל האפסים. אם מספר הקווים = n → יש אפס ייחודי, מסיימים. אחרת: (א) מאתרים את הערך המינימלי שלא כוסה; (ב) מחסרים אותו מכל תא לא מכוסה; (ג) מוסיפים אותו לכל תא בהצטלבות שני קווים; (ד) שאר התאים ללא שינוי — וחוזרים על שלב 3.

קריאת התוצאה: משבצים לפי האפסים הייחודיים, אבל את העלות מחשבים מהטבלה המקורית!

ניסוח כ־LP (לבעיות מאוזנות, מקס' או מינ')

Max/Min Z = Σ_iΣ_j c_i,j·x_i,j s.t. Σ_i x_i,j = 1 ∀j , Σ_j x_i,j = 1 ∀i , x_i,j∈{0,1}

בסעיפי "מריאנו חייב ג'וב 1 או 4" — מסמנים M בכל שאר הג'ובים בשורתו ופותרים מחדש. השוו את סך הקולות לפתרון המקורי כדי לחשב את "עלות" האילוץ הפוליטי.

יחידה 1 · אופטימיזציה

7. בעיות כיסוי (8 עמ')

סוגי כיסוי

כיסוי פיזי — מכסחת דשא, דוור, צוות סריקות.
כיסוי ללא מגע: קו ראייה (תצפיתנים, אנטנות) · רדיוס כיסוי אווירי (סוללות טילים) · טווח זמן זמין לקריאה (משטרה, מכבי אש, מד"א).

מטריצת הכיסוי

האיבר a_i,j∈{0,1}: האם שורה i (נקודה שצריך לכסות) מכוסה ע"י עמודה j (מיקום אפשרי). עמודה j מכסה את שורה i כאשר: רואים מ־j את i / המרחק בין j ל־i קטן מהרדיוס / זמן התנועה קצר מהסף. בכל עמודה יש 1 גם על האלכסון — נקודה מכסה את עצמה.

ניסוח כ־LP בשלמים (Set Covering)

כיסוי כל השורות במינימום עלות Min Z = Σ_j c_j·x_j s.t. Σ_j a_i,j·x_j ≥ 1 ∀i , x_j∈{0,1}

כאשר העלויות שוות (cⱼ=1) — ממזערים את מספר המיקומים (דוגמת מרכזי השירות בדרום, טווח 45 ק"מ).

האלגוריתם החמדני

סוכמים כמה שורות מכסה כל עמודה.
בוחרים את העמודה המכסה הכי הרבה שורות.
מוחקים את השורות שכוסו ואת העמודה שנבחרה.
כל עוד נותרו שורות — חוזרים לשלב 1.

וריאציות מהמחברת (שטריימל הפלדה)

מספר סוללות מוגבל (למשל 3): מריצים את החמדני 3 איטרציות בלבד — מקסימום יישובים מכוסים.
מקסימום תושבים (ולא יישובים): ניסוח Maximal Covering — משתנה zᵢ∈{0,1} "האם יישוב i מכוסה", ‏Max Σwᵢ·zᵢ (wᵢ = תושבים), עם אילוצים zᵢ ≤ Σⱼaᵢⱼxⱼ ו־Σxⱼ ≤ 2.

יחידה 1 · אופטימיזציה

8. בעיית הסוכן הנוסע (TSP) (9 עמ')

סוכן יוצא מעיר מגוריו, מבקר בכל עיר בדיוק פעם אחת וחוזר הביתה, במינימום עלות. יש (n−1)! מסלולים אפשריים; מאחר שמדובר במעגל — לא משנה מאיזה קודקוד מתחילים. זו בעיה קשה (NP): פתרון אופטימלי אפשרי רק בבעיות קטנות, באמצעות תכנות ליניארי / תכנות דינמי / הסתעף וחסום.

ניסוח כ־LP

Min Z = Σ_iΣ_j C_i,j·x_i,j
(1) Σ_j x_i,j = 1 ∀i (יציאה מכל עיר) (2) Σ_i x_i,j = 1 ∀j (כניסה לכל עיר)
(3) x_j,j = 0 (או C_j,j=∞) (4) x_i,j+x_j,i ≤ 1 (5) x_i,j+x_j,k+x_k,i ≤ 2 … (K) סכום ≤ K−1 לכל קבוצת K קודקודים

אילוצים 3 ואילך = sub-tour elimination (איסור תת־מעגלים בגודל 1, 2, 3, …, n−1). ללא אילוצים אלה הניסוח זהה לבעיית השמה — ולכן פתרון בעיית ההשמה מהווה חסם תחתון ל־TSP.

יוריסטיקה 1 — השכן הקרוב ביותר

בכל קודקוד ממשיכים לשכן הזול ביותר שטרם ביקרנו בו; בסוף חוזרים למקור. אפשר להריץ מכל קודקוד התחלה ולבחור את המסלול הקצר מכולם. חסם איכות: לכל היותר פי (1+log₂n)/2 מהאופטימום (למשל n=16 → פי 2.5).

יוריסטיקה 2 — פתרון מבוסס צימוד (עץ פורש + Matching, בסגנון Christofides)

מחשבים עץ פורש מינימלי.
מזהים קודקודים בעלי דרגה אי־זוגית (מספרם תמיד זוגי).
מוצאים צימוד מינימלי ביניהם — חלוקה לזוגות שסכום קשתותיהן מינימלי — ומוסיפים את הקשתות לעץ.
מהמעגל שנוצר בונים מסלול: מתקדמים לאורכו ומדלגים על קודקוד שכבר ביקרנו בו (מניעת כפילויות). בודקים כמה אופציות דילוג ובוחרים את הזולה.

כאשר מתקיים אי־שוויון המשולש, האלגוריתם מבטיח לכל היותר פי 1.5 מהאופטימום.

שאלת חסמים קלאסית: "מדוע פתרון בעיית ההשמה על אותה מטריצה הוא חסם תחתון?" — כי ל־TSP יש את כל אילוצי ההשמה ועוד אילוצי sub-tour, ולכן מרחב הפתרונות שלו מוכל בזה של ההשמה.

יחידה 1 · אופטימיזציה

9. בעיית מסלולי החלוקה (VRP) — אלגוריתם החסכונות (7 עמ')

מחסן מרכזי, צי משאיות, לקוחות עם ביקושים ומיקומים ידועים; יש לבנות מסלול לכל משאית כך שכולם יקבלו סחורה בזמן ובמינימום עלות הובלה. עם משאית אחת — זו בעיית TSP.

אלגוריתם Clarke & Wright

C_i,j = עלות/זמן התנועה מ־i ל־j; המחסן מסומן 0.
מסלול התחלתי לכל לקוח: ‏0→j→0.
חיסכון מאיחוד שני מסלולים: S_i,j = C_i,0 + C_0,j − C_i,j
ממיינים את החסכונות בסדר יורד.
מתחילים בחיסכון הגדול ביותר ובונים מסלול 0→i→j→0. מרחיבים שוב ושוב — רק בתחילת המסלול או בסופו — כל עוד יש חיסכון חיובי ולא חורגים מהקיבולת/סף.
כשאי אפשר להרחיב — פותחים מסלול חדש למשאית חדשה וחוזרים לשלב 5.

כלל שוברי שוויון במחברת: בין חסכונות זהים בוחרים את זה שבו i < j.
מגבלת קיבולת: בדוגמת המוניות — מונית מכילה 11 נוסעים אבל נציג האגודה תופס מקום → 10 סטודנטים למונית. סופרים נוסעים מצטברים לאורך המסלול וסוגרים כשמתמלא.
סעיף האוטובוס: ללא מגבלת קיבולת בונים מסלול יחיד עם אותו אלגוריתם, ומחשבים איזה תעריף לק"מ הופך אותו לזול מסך עלות המוניות.

להרחיב מסלול מהאמצע. הרחבה מותרת רק בקצוות — קודקוד פנימי במסלול כבר "נעול".

יחידה 2 · קבלת החלטות

10. מבוא לקבלת החלטות — חמשת מצבי המידע (8 עמ')

קבלת החלטות = בחירה בין אלטרנטיבות: ‏Choice + Chance → Consequence. קבלת החלטות רציונלית מתבססת על מספרים, לא על תחושות. הכלי הבסיסי: מטריצת החלטות (Payoff Matrix) — שורות = אסטרטגיות פעולה (Sᵢ), עמודות = מצבי טבע (Nⱼ) שאין עליהם שליטה.

א. תנאי ודאות (Certainty)

עמודה אחת בלבד — בוחרים את השורה עם הערך הטוב ביותר. כשמרחב האפשרויות ענק (למשל השמת 20 עובדים ל־20 משימות = ‏20! ≈ 2.43×10¹⁸ אפשרויות) — משתמשים בתכנות מתמטי (אופטימיזציה קומבינטורית).

ודאות עם קריטריונים מרובים (בחירת רכב)

מגדירים קריטריונים מדידים ומשקל לכל אחד (סה"כ 100%).
נרמול לסולם 0–1: הערך הטוב ביותר מקבל 1. בקריטריון למקסום (כ"ס, בטיחות) — מחלקים כל ערך בערך הגבוה; בקריטריון למזעור (מחיר) — מחלקים את הערך הנמוך בכל ערך.
מחשבים ציון משוקלל לכל חלופה ובוחרים את הגבוה.

ב. תנאי אי־ודאות (Uncertainty) — 5 כללי אצבע

לפלס (Laplace)

הסתברויות שוות — בוחרים באסטרטגיה עם הממוצע הטוב ביותר.

מקסימין (פסימי)

לכל אסטרטגיה לוקחים את הגרוע ביותר, ובוחרים את הטוב מבין הגרועים.

מקסימקס (אופטימי)

לכל אסטרטגיה לוקחים את הטוב ביותר, ובוחרים את הטוב מבין הטובים.

הורביץ (Hurwicz)

מקדם אופטימיות ‏0 ≤ α ≤ 1: ‏ציון = α·(מקס') + (1−α)·(מינ'). ‏α גדול = אופטימי יותר.

קריטריון החרטה (Savage)

לכל תא: ‏R_i,j = MaxP_j − P_i,j (ההפרש מהערך הטוב בעמודה). בוחרים את האסטרטגיה שבה החרטה המקסימלית היא הקטנה ביותר (MiniMax Regret).

הביטקוין של מר פלד: ‏S₁ למכור: (15, 5, −10) · ‏S₂ לא למכור: (30, 60, 8).
לפלס: ‏S₁ = 10/3 ≈ 3.33 · ‏S₂ = 98/3 ≈ 32.67 → לא למכור.
מקסימין: ‏min S₁ = −10 · ‏min S₂ = 8 → לא למכור. מקסימקס: 15 מול 60 → לא למכור.
הורביץ α=0.4: ‏S₁ = 0.4·15+0.6·(−10) = 0 · ‏S₂ = 0.4·60+0.6·8 = 28.8 → לא למכור.
חרטה: מקס' בעמודות (30, 60, 8) → ‏R(S₁)=(15,55,18) מקס' 55; ‏R(S₂)=(0,0,0) מקס' 0 → לא למכור.

ג. תנאי סיכון (Risk)

ההסתברויות ידועות (מהשכיחות ההיסטורית). מחשבים תוחלת לכל אסטרטגיה ובוחרים את הגבוהה: ‏E(Sᵢ) = Σ pⱼ·P_i,j. לחלופין — תוחלת חרטה מינימלית (שתי הגישות מובילות לאותה בחירה).

החקלאי: עגבניות (20, 30, 40), מלפפונים (0, 20, 70), ‏p = (0.25, 0.5, 0.25).
E(עגבניות) = 0.25·20 + 0.5·30 + 0.25·40 = 30 · E(מלפפונים) = 0 + 10 + 17.5 = 27.5 → לשתול עגבניות.

ד. תנאי קונפליקט (Conflict)

מולנו יריבים אינטליגנטיים ששוקלים את צעדיהם לאור ההחלטות שלנו; ניגוד אינטרסים — ניצחון האחד על חשבון האחר. התחום: תורת המשחקים.

יחידה 2 · קבלת החלטות

11. עצי החלטה, EVPI ו־EVSI (8 עמ')

מבנה העץ

צומת גורל (עיגול) — התוצאה אינה בשליטתנו; לכל ענף הסתברות.
צומת החלטה (ריבוע) — אנחנו בוחרים ענף.

מתאים גם להחלטות רב־שלביות (רצף החלטות כתלות במאורעות — למשל מועד א' ואז אפשרות למועד ב').

שלבי הפתרון (הגישה התוחלתנית)

מציירים את העץ.
מוסיפים אלמנטים כלכליים — עלויות ורווחים על הענפים/עלים.
כימות אי־הוודאות — הסתברות לכל ענף בצומת גורל.
קיפול העץ מהסוף להתחלה: בצומת גורל מחשבים תוחלת; בצומת החלטה פוסלים את האופציות הפחות טובות.

מורדוך קידוחים: מצבור גדול p=0.4 פדיון 10M$ · בינוני p=0.5 פדיון 3M$ · קטן p=0.1 פדיון 0.5M$. עלות קידוח 4M$.
E(פדיון) = 0.4·10 + 0.5·3 + 0.1·0.5 = 5.55M$ → E(רווח מקידוח) = 5.55 − 4 = 1.55M$ > 0 (לא לקדוח) → תוחלתן יקדח. ‏EMV = 1.55M$.

ערכו של מידע מושלם

EVPI — כמה נשלם לכל היותר על מידע מושלם EVPI = EVWPI − EMV

‏EVWPI = תוחלת הרווח כשנדע מראש את מצב הטבע (בכל מצב בוחרים את הפעולה הטובה לו, ומשקללים בהסתברויות). ‏EMV = תוחלת הרווח ללא מידע.

בהינתן מידע מושלם: מצבור גדול → קודחים (רווח 6M) · בינוני → קודחים (−1M? לא: 3−4=−1 → לא קודחים, רווח 0)… נחשב: גדול: ‏max(10−4, 0)=6 · בינוני: ‏max(3−4, 0)=0 · קטן: ‏max(0.5−4, 0)=0.
EVWPI = 0.4·6 + 0.5·0 + 0.1·0 = 2.4M$ → EVPI = 2.4 − 1.55 = 0.85M$.

ערכו של מידע חלקי

EVSI — מידע חלקי (מבוסס ניסוי/מכשיר) EVSI = EVWSI − EMV

מכשיר מכון ויצמן מזהה בוודאות מצבור קטן, אך לא מבדיל בין גדול לבינוני.
אם "קטן" (p=0.1): לא קודחים → 0. אם "לא קטן" (p=0.9): הסתברויות מותנות 4/9 גדול, 5/9 בינוני → E(פדיון)= (4/9)·10+(5/9)·3 = 55/9 ≈ 6.11 → רווח 2.11M → קודחים.
EVWSI = 0.9·2.11 + 0.1·0 ≈ 1.9M$ → EVSI ≈ 1.9 − 1.55 = 0.35M$ — המחיר המקסימלי עבור המכשיר.

לשכוח להפחית את עלות הפעולה (למשל עלות הקידוח) מהפדיון לפני הקיפול, או לחשב EVWPI בלי האופציה "לא לפעול" במצבים גרועים.

יחידה 3 · חיזוי

12. מבוא לחיזוי וסדרות עתיות (7 עמ')

חיזוי

טכניקה לתרגום ניסיון העבר לצורך הערכת הביקוש העתידי. חוזים ביקוש, לא מכירות (מכירות מושפעות מחוסרים מכוונים, מגבלות טכניות וכו').

הנחות יסוד

(1) את הביקוש ניתן לייצג במודל מתמטי; (2) תופעות שאפיינו את הביקוש בעבר ימשיכו לאפיינו בעתיד.

גורמים משפיעים

הגורם המוסבר (זמן, מחיר, מוצרים חלופיים, אופנה…) והגורם הבלתי־מוסבר (השונות שנותרת — ה"רעש").

מחזור חיי המוצר — 3 תקופות

‏(1) חדירה לשוק — הביקוש גדל בהדרגה; ‏(2) יציבות — נתח שוק יציב; ‏(3) דעיכה — עד היציאה מהשוק, לרוב עם הופעת מוצר חדשני. חשוב לדעת באיזה שלב אנחנו — חיזוי מגמת עלייה כשעברנו ליציבות יטעה.

סימונים ומודלים

‏t = תקופה · ‏D_t = ביקוש בתקופה t · ‏ε_t = רעש עם תוחלת 0 (סטיות מעל ומתחת לקו המגמה מתקזזות).

מודל	משוואה	מתי
קבוע בזמן	D_t = a + ε_t	מוצרי צריכה בסיסיים
נטייה ליניארית	D_t = a + b·t + ε_t	גידול/קיטון קבוע
אקספוננציאלי	D_t = a·e^bt + ε_t	צמיחה מעריכית
עונתי, מגמה קבועה	D_t = a·C_t + ε_t	מחזוריות סביב קו קבוע
עונתי, מגמה ליניארית	D_t = (a + b·t)·C_t + ε_t	מחזוריות + צמיחה
אקראי	—	אין שום חוקיות — אין מה לחזות

חריגות ושינויי מגמה

קפיצה חד־פעמית מוסברת (מלחמה וכד') — מתעלמים מהנתון.
שינוי מגמה (מעבר בין שלבי מחזור החיים, יציאת מתחרה, שינוי מיסוי) — מתעלמים מהנתונים שלפני השינוי ומשתמשים רק בנתונים החדשים.

חמשת שלבי החיזוי

העלאת הנתונים על גרף וזיהוי התנהגות הביקוש.
הגדרת המודל המתאים והפרמטרים בו.
אמידת הפרמטרים בצורה הטובה ביותר.
מתן תחזית מספרית.
בקרת החיזוי — השוואה בדיעבד לביקוש בפועל ותיקון השיטה.

יחידה 3 · חיזוי

13. מדדי הערכת השגיאה (3 עמ')

סימונים: ‏F_t = התחזית · ‏D_t = הביקוש בפועל · e_t = F_t − D_t. ככל שציון המדד נמוך — החיזוי טוב יותר.

ME — ממוצע השגיאותME = (1/n)·Σ e_t

חיסרון קריטי: טעויות חיוביות ושליליות מקזזות זו את זו — חיזוי גרוע עם סטיות סימטריות יקבל ME ≈ 0.

MAD — ממוצע הערך המוחלט של השגיאותMAD = (1/n)·Σ |e_t|

אין קיזוז. חיסרון: קשה לבצע עליו מניפולציה מתמטית (נגזרות).

MSE — ממוצע ריבועי השגיאותMSE = (1/n)·Σ e_t²

שני יתרונות: ‏(1) ניתן לגזירה (בסיס שיטת הרגרסיה); ‏(2) מעניש טעויות גדולות — ההעלאה בריבוע מעצימה את משקלן.

חברה א' — טעות של 10% מהביקוש בכל תחזית · חברה ב' — ‏90% מהתחזיות מדויקות, ‏10% עם טעות של 100%.
MAD: ‏א' = 0.1D · ‏ב' = 0.9·0 + 0.1·1·D = 0.1D → שוויון לפי MAD.
MSE: ‏א' = (0.1D)² = 0.01D² · ‏ב' = 0.1·(1·D)² = 0.1D² → לפי MSE חברה א' עדיפה פי 10 — טעות ענק נדירה מזיקה יותר מטעות קטנה שכיחה.

יחידה 3 · חיזוי

14. מודל קבוע בזמן (7 עמ')

‏D_t = a + ε_t. אומדים את a באמצעות ‏â, והתחזית לכל תקופה עתידית: ‏F_t = â. שלוש גישות לנתוני העבר:

גישה	השיטה	נוסחה
משקל שווה לכל העבר	ממוצע פשוט	â = (1/n)·Σ D_t
רק K נתונים אחרונים	ממוצע נע עם פרמטר K	â = (1/K)·Σ (K אחרונים)
משקל דועך אחורה	החלקה אקספוננציאלית α	â_n = α·D_n + (1−α)·â_n−1

החלקה אקספוננציאלית — פרטים

‏0 ≤ α ≤ 1, בפועל בד"כ 0.1 ≤ α ≤ 0.3. הנתון האחרון מקבל משקל α, הקודם α(1−α), וכן הלאה.
הנוסחה הרקורסיבית: ‏â_n = α·D_n + (1−α)·â_n−1, עם אתחול â₀ = D₁.
יתרון: הערכים â₁, â₂, … נדרשים ממילא לחיזוי בדיעבד.

חיזוי בדיעבד — איך בוחרים שיטה / K / α

בכל תקופה t מבצעים תחזית לתקופה t+1 על סמך הנתונים עד t, משווים לביקוש בפועל, אוספים טעויות ומחשבים MSE (או MAD) לכל שיטה. בוחרים בשיטה עם המדד המינימלי.

K קטן / α גדולה — "רודף אחרי הביקוש": מתאים כשיש שינוי מגמתי אמיתי.
K גדול / α קטנה — "רגוע": מתאים לביקוש יציב עם קפיצות אקראיות שיש להתעלם מהן.

נתוני המחברת: ‏D = 10, 9, 8, 9, 9, 10 (t = 1…6).
ממוצע פשוט: ‏â = 55/6 ≈ 9.17 → F₇=F₈=F₉=F₁₀ ≈ 9.17.
ממוצע נע K=3: ‏â = (9+9+10)/3 ≈ 9.33 → F₇…₁₀ ≈ 9.33.
החלקה α=0.3: ‏â₀=10 → â₁=10 → â₂=9.70 → â₃=9.19 → â₄=9.13 → â₅=9.09 → â₆=9.36 → F₇…₁₀ ≈ 9.36.

יחידה 3 · חיזוי

15. מודלים לא קבועים בזמן — רגרסיה והתמרה לוגריתמית (12 עמ')

מבנה כללי: ‏D_t = f(a, b, c, … ; t) + ε_t — פרמטרים קבועים + התקופה t. התחזית: ‏F_t = f(â, b̂, ĉ, … ; t). שיטות האמידה מקבילות לשלוש הגישות: רגרסיה על כל הנתונים / רגרסיה על K אחרונים / החלקות אקספוננציאליות.

רעיון הרגרסיה (מזעור MSE)

כותבים ביטוי לתחזית F_t ולטעות e_t = F_t − D_t.
כותבים ביטוי ל־MSE כתלות באומדים.
גוזרים את MSE לפי כל אומד ומשווים ל־0.
ממערכת המשוואות מפתחים נוסחאות לאומדים.

המודל הליניארי D_t = a + b·t + ε_t — הנוסחאות

אומדי הרגרסיה b̂ = [ n·Σ(D_t·t) − ΣD_t·Σt ] / [ n·Σt² − (Σt)² ]
â = [ ΣD_t − b̂·Σt ] / n F_t = â + b̂·t

ההכללה החשובה — קיצור הדרך

לכל מודל מהצורה ‏D_t = a + b·f(t) + ε_t אין צורך לגזור מחדש: משתמשים באותן נוסחאות ומציבים f(t) בכל מקום שבו הופיע t. עובד עבור f(t)=1/t, ‏t², ‏(t+t²) וכו'. לא עובד כשהמבנה שונה (למשל D_t = a·t + 2t² — הפרמטר כופל את t ואין איבר חופשי).

התמרה לוגריתמית למודל המעריכי

D_t = a·e^bt — מפעילים ln על שני האגפים ln(D_t) = ln(a) + b·t ⇒ D'_t = a' + b·t

מחשבים D'_t = ln(D_t) לכל נתון.
מריצים את נוסחאות הרגרסיה הליניארית על D'_t → מקבלים â' ו־b̂ (b̂ נשאר כמו שהוא!).
משחזרים: ‏â = e^â' (shift-ln במחשבון).
התחזית במודל המקורי: ‏F_t = â·e^b̂·t.

שאלת זיהוי קלאסית: נותנים מודל ושואלים אם אפשר "בלי נגזרות". התשובה: כן — אם ורק אם המודל בצורה a + b·f(t) (או ניתן להתמרה אליה, כמו המעריכי).

יחידה 3 · חיזוי

16. עונתיות ודקומפוזיציה (10 עמ')

עונתיות

התנהגות הביקוש חוזרת על עצמה בחוקיות קבועה. ‏L = מספר העונות (תקופות) בכל מחזור. תקופה יכולה להיות יום, חודש, ואפילו שעה.

מקדם העונתיות C_t

פי כמה הביקוש בעונה גבוה/נמוך מקו המגמה. ‏C>1 מעל הממוצע, ‏C<1 מתחת. לכל התקופות של אותה עונה — אותו מקדם. ממוצע המקדמים = 1 (סכומם = L).

מודלים: ‏D_t = a·C_t + ε_t (מגמה קבועה) · ‏D_t = (a+b·t)·C_t + ε_t (מגמה ליניארית). אומדים גם את פרמטרי המגמה וגם את מקדמי העונתיות — בקורס עושים זאת בדקומפוזיציה (השיטה השנייה, החלקות, לא נלמדת).

דקומפוזיציה — שלוש טבלאות

הנחת השיטה: הגידול במגמה קיים רק בין מחזורים; בתוך מחזור המגמה קבועה. עורכים את הנתונים בטבלה: שורה = מחזור, עמודה = עונה.

טבלה 1 — ממוצעי מחזורים: מחשבים ממוצע לכל שורה (מחזור).
טבלה 2 — מקדמי עונתיות: מחלקים כל תא בממוצע המחזור שלו (נטרול הגידול), וממצעים כל עמודה → מקדם לכל עונה.
טבלה 3 — נרמול: מחלקים כל תא במקדם העונתיות שלו (נטרול העונתיות) ומחשבים ממוצעי מחזור מעודכנים. עליהם אומדים את פרמטרי המגמה (רגרסיה, לפי מודל הגידול הנתון).

תחזית: מחשבים את גובה קו המגמה למחזור הרלוונטי, וכופלים במקדם העונתיות של העונה שאליה שייכת התקופה: ‏F_t = (מגמה) × C_עונה.

דפי הצילום במדור הבחינות (3 שנים × 3 סמסטרים; מודל גידול שנתי D = a + b·t²):
טבלה 1 — ממוצעי מחזורים: תשס"ח (62+68+26)/3 = 52 · תשס"ט = 56 · תש"ע = 68.
טבלה 2 — מקדמים: סמ' א' ≈ (1.19+1.21+1.21)/3 ≈ 1.20 · סמ' ב' ≈ 1.28 · קיץ ≈ 0.51 (בדיקה: סכום ≈ 3 ✓).
רגרסיה על ממוצעי המחזורים עם f(t)=t²: ‏n=3, ΣD=176, Σt²=14, Σt⁴=98, ΣD·t²=888 →
b̂ = (3·888 − 176·14)/(3·98 − 196) = 200/98 ≈ 2.04 · â = (176 − 2.04·14)/3 ≈ 49.14.
שנה 4 סמ' ב': ‏(49.14 + 2.04·16)·1.28 ≈ ≈105 אלף דפים · שנה 5 קיץ: ‏(49.14 + 2.04·25)·0.51 ≈ ≈51 אלף.
"מתי לראשונה מעל 200?" — בודקים כל אחת מ־3 העונות בנפרד (פותרים למגמה הנדרשת לפי המקדם) ובוחרים את המוקדמת.

לשכוח לשייך את תקופת התחזית לעונה הנכונה: תקופה 13 עם L=4 → מחזור 4, עונה 1 (‏13 = 3·4 + 1). תקופה 18 → מחזור 5, עונה 2.

יחידה 4 · ייצור ומלאי

17. MRP — תכנון דרישות חומרים: עצי מוצר ומטריצות (4 עמ')

עץ מוצר

תיאור המוצר ומרכיביו עד רמת חומרי הגלם. על כל קשת — כמות (למשל 3x = שלוש יחידות בן לכל יחידת אב).

שרשרת המטריצות — מהלקוח ועד העלות

סימון	משמעות	איך מחשבים
P (= P¹)	מוצר ↔ בניו הישירים	מהעץ: כמה בנים מכל סוג ביחידת אב
P⁰	מוצר ↔ עצמו	מטריצת היחידה I
Pⁱ	מוצר ↔ הדור במרחק i (נכדים, נינים…)	Pⁱ = Pⁱ⁻¹ · P¹
Q (BOM)	מטריצת הפיצוץ — סך כל המרכיבים ליחידה	Q = Σ Pⁱ = P⁰ + P¹ + P² + …
X	וקטור דרישות הלקוח (דרישות קצה)	נתון
Y	הדרישות בפועל מכל מוצר	Y = X · Q
S	מטריצת משאבים — משאבים להרכבת יחידה (בהנחה שהבנים מוכנים)	נתונה
R	וקטור דרישות המשאבים	R = Y · S
C	וקטור עלויות משאב ליחידה	נתון
TC	העלות הכוללת	TC = R · C

הסכום ‏Q = ΣPⁱ סופי — נעצר כשמגיעים ל־Pⁱ שכולו אפסים (עומק העץ).

שרשרת החישוב במבחן תמיד זהה: ‏P → חזקות → Q → Y = X·Q → R = Y·S → TC = R·C. שגיאה במטריצה אחת מתגלגלת הלאה — בדקו את P² ידנית מול העץ (נכד דרך כל המסלולים!) לפני שממשיכים.

יחידה 4 · ייצור ומלאי

18. שיטות לקביעת גודל המנה (Lot Sizing) (10 עמ')

נתונים: ביקוש לתקופות, עלות עריכה/הזמנה קבועה K ועלות החזקת יחידה לתקופה h. קובעים תוכנית הזמנות/ייצור שעומדת בביקוש (חוסר אסור) במינימום עלות כוללת = (מס' הזמנות)·K + h·Σ מלאי.

שלוש משפחות שיטות

1. שיטות מאולצות

LFL (Lot For Lot) — מזמינים בדיוק את הביקוש, אפס מלאי · FP (Fixed Period) — הזמנה אחת לכל p תקופות · FQ (Fixed Quantity) — מנות בגודל קבוע (כפולות של מספר נתון).

2. שיטות יוריסטיות

LUC (Least Unit Cost) — מרחיבים הזמנה תקופה־תקופה ומחשבים עלות ממוצעת ליחידה; כשהיא עולה — עוצרים ופותחים הזמנה חדשה · Silver & Meal — אותו רעיון, אבל עלות ממוצעת לתקופה.

3. שיטה אופטימלית

Wagner-Whitin (WW) — תכנות דינמי, מבטיחה אופטימום (למוצר בודד).

Wagner-Whitin — הנוסחאות

Fⱼ = העלות המינימלית של תוכנית עד תקופה j · M_i,j = הזמנה בתקופה i+1 + החזקה עד j F₀ = 0 F_k = Min_i<k { F_i + M_i,k }

מתחילים מ־F₀ ומתקדמים עד F_n; בכל שלב משתמשים בתוצאות השלבים הקודמים. משחזרים את הפתרון אחורה (איזה i נתן את המינימום בכל שלב) — בדיוק כמו בדוגמת הטיסות לוולינגטון.

נתוני המחברת: ‏V = (60, 25, 20, 50, 40, 0, 15) · K = 120$ · h = 2$ ליחידה·תקופה. תוצאות כל השיטות (חישוב מלא):

שיטה	הזמנות (תקופה: כמות)	עלות הזמנות	עלות החזקה	TC
LFL	6 הזמנות (בכל תקופה עם ביקוש)	720	0	720
FP = 2	‏1:85 · 3:70 · 5:40 · 7:15	480	150	630
LUC	‏1:85 · 3:70 · 5:40 · 7:15	480	150	630
Silver-Meal	‏1:105 · 4:90 · 7:15	360	210	570
WW (אופטימום)	‏1:105 · 4:105	240	300	540

מהלך WW בקצרה: ‏F₁=120 · F₂=170 · F₃=250 · F₄=370 · F₅=450 · F₆=450 (ביקוש 0 בתקופה 6 לא מוסיף כלום) · F₇=540 דרך F₃+M₃,₇ → הזמנה בתקופה 1 המכסה 1–3 והזמנה בתקופה 4 המכסה 4–7.

ניסוח Lot Sizing כ־LP

Q_t כמות מוזמנת · I_t מלאי בסוף תקופה · Y_t∈{0,1} האם הוזמן Min Z = K·ΣY_t + h·ΣI_t
(1) I_t−1 + Q_t − I_t = D_t ∀t (מאזן מלאי, מונע חוסר)
(2) Q_t ≤ M·Y_t ∀t (אילוץ קישור: אם מזמינים — Y_t חייב להיות 1)
Q_t, I_t ≥ 0 , Y_t∈{0,1}

‏M = מספר גדול מאוד; אם קיימת תקרת ייצור לתקופה — משתמשים בה במקום M.

יחידה 4 · ייצור ומלאי

19. קביעת תוכנית הייצור הכוללת (MPS) (7 עמ')

תוכנית האב מתרגמת את דרישות הלקוח לכל פריט בעץ המוצר — בשילוב מלאי קיים, מלאי ביטחון ו־Lead Time — לתוכנית הזמנות/ייצור.

שורות הטבלה — הסימונים

R_t

דרישות ברוטו (לפני קיזוז מלאי) — חיצוניות + פנימיות.

X_t

עומדים־לבוא (עול"ב) — פריטים שיגיעו מהזמנות קודמות. מלאי פתיחה מסומן X₀ (או I₀).

מלאי ביטחון — המלאי בכל רגע ≥ SS.

D_t

דרישות נטו.

L.T

‏Lead Time — הזמן מהזמנה ועד הגעה למלאי.

V_t

דרישות נטו מוזזות בזמן (מוקדמות ב־L.T) — מתי צריך להזמין.

Q_t

הכמות שמזמינים בפועל, לפי מדיניות גודל המנה של הארגון (LFL / FP / FQ / WW…).

נוסחאות החישוב

שורת העזר Y_t — המלאי בהנחה שאין ייצור Y_t = Max{ SS , Y_t−1 + X_t − R_t }

דרישות נטו D_t = 0 אם Y_t > SS · D_t = SS + R_t − Y_t−1 − X_t אם Y_t = SS

מלאי בפועל בסוף תקופה (לחישוב עלות החזקה) I_t = I_t−1 + X_t + Q_t−L.T − R_t

דוגמת המחברת: דרישות (6,5,7,7,6,5) · SS=2 · L.T=חודש · X₂=3, X₄=9 · מלאי פתיחה 4.
Y₀=4 → Y₁=max(2, 4−6)=2 ⇒ D₁ = 2+6−4−0 = 4 · Y₂=max(2, 2+3−5)=2 ⇒ D₂=2 · D₃=7 · Y₄=max(2, 2+9−7)=4 ⇒ D₄=0 · D₅=4 · D₆=5.
V (הזזה של L.T=1 אחורה): ‏V₀=4, V₁=2, V₂=7, V₃=0, V₄=4, V₅=5 — ואז קובעים Q לפי FP=2: ‏Q₀=6, Q₂=7, Q₄=9.

עץ מוצר שלם — מלמעלה למטה

מתחילים בראש העץ; ‏תוכנית הייצור (Q) של כל אב הופכת לדרישות ברוטו פנימיות של הבן, מוכפלת בכמות שבקשת העץ, ומתווספת לדרישות החיצוניות של הבן. ממשיכים במורד העץ עד העלים.

טענה חשובה: WW על כל מוצר בנפרד ≠ אופטימום גלובלי

‏WW מבטיח אופטימום מקומי למוצר בודד בלבד. במחברת מוצגת דוגמה מפריכה (עץ A→2×B): פתרון WW לכל מוצר בנפרד יוצר ל־B דפוס דרישות יקר, בעוד שייצור A במנה אחת — שאינו אופטימלי ל־A לבדו — מוזיל את העלות הכוללת של העץ. אופטימום מקומי לכל רכיב אינו מבטיח אופטימום גלובלי.

לשכוח שההזזה של V היא ב־L.T אחורה, או להתחיל את חישוב העץ מהעלים במקום מהשורש.

יחידה 4 · ייצור ומלאי

20. שיטת Just In Time (JIT) (4 עמ')

שיטה לניהול ובקרת מלאי שמטרתה לחסל כל בזבוז — מלאי לא נחוץ, זמני בטלה ומוצרים פגומים. פותחה בטויוטה ביפן אחרי מלחמת העולם השנייה; שורשיה במחסור בשטח ובמשאבים וביפן ובתרבות החיסכון. העיקרון: לייצר את המוצר הנכון, בכמות הנכונה, בזמן הנכון.

מושכת מול דוחפת

‏MRP = מערכת דוחפת: כל תחנה מייצרת ומעבירה הלאה. ‏JIT = מערכת מושכת: פריט מיוצר רק כשמגיעה בקשת משיכה מהתחנה הבאה בקו. המטרה: זרימה חלקה מחומר הגלם ועד הלקוח.

ארבעת עמודי התווך

מערך מכונות ושיטות ייצור: תחנות בצורת U (עובד יחיד מתפעל כמה מכונות), מסועים ורובוטים, וקיצור דרמטי של זמני Set-Up (אחסון הכלים ליד המכונה — יש דוגמאות של מ־10 שעות ל־10 דקות).
כרטיסי קנבאן ("כרטיס" ביפנית): ייצור רק תמורת כרטיס משיכה. כמות הכרטיסים שולטת במלאי בתהליך; אם יש יותר מדי — מוציאים כרטיסים ומורידים מלאי.
בקרת איכות כוללת (TQC): פועלי הייצור הם בקרי האיכות של עצמם; כל עובד יכול לעצור את הקו בלחיצת כפתור מוקדם ככל האפשר; כפתור אזהרה מזעיק צוות (צהוב → אדום → עצירה).
ספקים: אמון מלא — אין בדיקת חומר נכנס ואין מלאי ביטחון; משלוחים קטנים ותכופים ישירות לתחנת העבודה; ספק איכותי זוכה בחוזה ארוך טווח.

נוסחת הקנבאן

מספר כרטיסי הקנבאן הנדרש N = D·(T_w + T_p)·(1 + α) / C

‏D = קצב הייצור היומי הנדרש · T_w = זמן ההמתנה לכרטיס · T_p = זמן ייצור החלק · α = מקדם היעילות/ביטחון · C = קיבולת מיכל סטנדרטי.

שאלת השוואה אהובה: ‏MRP דוחפת ומבוססת תחזית ותכנון מראש; ‏JIT מושכת ומבוססת ביקוש בפועל, מלאי מינימלי ואיכות במקור. דעו לנמק מתי כל גישה מתאימה.

מפת הקורס — 20 פרקים, 4 יחידות

יחידה 1 · חקר ביצועים ואופטימיזציה

יחידה 2 · קבלת החלטות

יחידה 3 · חיזוי ביקושים

יחידה 4 · תכנון ייצור ומלאי

1. מבוא לחקר ביצועים וניסוח בעיות תכנות ליניארי (8 עמ' במחברת)

הגדרות יסוד

שלושת מרכיבי הניסוח — תמיד באותו סדר

המבנה הכללי (n משתנים, m אילוצים)

דפוסי ניסוח שחוזרים בתרגילי המחברת

2. פתרון גרפי לבעיות תכנון ליניארי (6 עמ')

האלגוריתם (מתאים לבעיות עם שני משתנים)

שיטת ישר פונקציית המטרה

מקרים מיוחדים

3. שימוש בתוכנת LINDO (4 עמ')

כללי כתיבה

קריאת דו"ח הפלט

Ranges in which the basis is unchanged

4. ניתוח רגישות (4 עמ')

4 סוגי הניתוח

5. גרפים ורשתות — מסלול קצר ועץ פורש מינימלי (6 עמ')

בעיית המסלול הקצר — אלגוריתם דיקסטרא

ניסוח מסלול קצר כ־LP

עץ פורש מינימלי (MST)

6. בעיות השמה — האלגוריתם ההונגרי (9 עמ')

הכנות לפני האלגוריתם

האלגוריתם ההונגרי

ניסוח כ־LP (לבעיות מאוזנות, מקס' או מינ')

7. בעיות כיסוי (8 עמ')

סוגי כיסוי

מטריצת הכיסוי

ניסוח כ־LP בשלמים (Set Covering)

האלגוריתם החמדני

וריאציות מהמחברת (שטריימל הפלדה)

8. בעיית הסוכן הנוסע (TSP) (9 עמ')

ניסוח כ־LP

יוריסטיקה 1 — השכן הקרוב ביותר

יוריסטיקה 2 — פתרון מבוסס צימוד (עץ פורש + Matching, בסגנון Christofides)

9. בעיית מסלולי החלוקה (VRP) — אלגוריתם החסכונות (7 עמ')

אלגוריתם Clarke & Wright

10. מבוא לקבלת החלטות — חמשת מצבי המידע (8 עמ')

א. תנאי ודאות (Certainty)

ודאות עם קריטריונים מרובים (בחירת רכב)

ב. תנאי אי־ודאות (Uncertainty) — 5 כללי אצבע

ג. תנאי סיכון (Risk)

ד. תנאי קונפליקט (Conflict)

11. עצי החלטה, EVPI ו־EVSI (8 עמ')

מבנה העץ

שלבי הפתרון (הגישה התוחלתנית)

ערכו של מידע מושלם

ערכו של מידע חלקי

12. מבוא לחיזוי וסדרות עתיות (7 עמ')

מחזור חיי המוצר — 3 תקופות

סימונים ומודלים

חריגות ושינויי מגמה

חמשת שלבי החיזוי

13. מדדי הערכת השגיאה (3 עמ')

14. מודל קבוע בזמן (7 עמ')

החלקה אקספוננציאלית — פרטים

חיזוי בדיעבד — איך בוחרים שיטה / K / α

15. מודלים לא קבועים בזמן — רגרסיה והתמרה לוגריתמית (12 עמ')

רעיון הרגרסיה (מזעור MSE)

המודל הליניארי Dt = a + b·t + εt — הנוסחאות

ההכללה החשובה — קיצור הדרך

התמרה לוגריתמית למודל המעריכי

16. עונתיות ודקומפוזיציה (10 עמ')

דקומפוזיציה — שלוש טבלאות

17. MRP — תכנון דרישות חומרים: עצי מוצר ומטריצות (4 עמ')

שרשרת המטריצות — מהלקוח ועד העלות

18. שיטות לקביעת גודל המנה (Lot Sizing) (10 עמ')

שלוש משפחות שיטות

Wagner-Whitin — הנוסחאות

ניסוח Lot Sizing כ־LP

19. קביעת תוכנית הייצור הכוללת (MPS) (7 עמ')

שורות הטבלה — הסימונים

נוסחאות החישוב

עץ מוצר שלם — מלמעלה למטה

טענה חשובה: WW על כל מוצר בנפרד ≠ אופטימום גלובלי

20. שיטת Just In Time (JIT) (4 עמ')

מושכת מול דוחפת

המודל הליניארי D_t = a + b·t + ε_t — הנוסחאות